设fk为关于n的k次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk都成立．若k=0，

题文

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（II）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：若k=0，则f_k（n）即f₀（n）为常数，
不妨设f₀（n）=c（c为常数）．
因为a_n+S_n=f_k（n）恒成立，
所以a₁+S₁=c，c=2a₁=2．
而且当n≥2时，a_n+S_n=2，①
a_n﹣1+S_n﹣1=2，②
①﹣②得 2a_n﹣a_n﹣1=0（n∈N，n≥2）．
若a_n=0，则a_n﹣1=0，…，a₁=0，与已知矛盾，所以a_n≠0（n∈N*）．
故数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．
（2）若k=1，设f₁（n）=b_n+c（b，c为常数），
当n≥2时，a_n+S_n=b_n+c，③
a_n﹣1+S_n﹣1=b（n﹣1）+c，④
③﹣④得 2a_n﹣a_n﹣1=b（n∈N，n≥2）．
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a_n=b﹣d（常数），
而a₁=1，故{a_n}只能是常数数列，通项公式为a_n=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为a_n=1（n∈N*），
此时f₁（n）=n+1．
（3）若k=2，设f₂（n）=pn²+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，a_n+S_n=pn²+qn+t，⑤
a_n﹣1+S_n﹣1=p（n﹣1）²+q（n﹣1）+t，⑥
⑤﹣⑥得 2a_n﹣a_n﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a_n=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考虑到a₁=1，所以a_n=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．
故当k=2时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为a_n=2pn﹣2p+1（n∈N*），
此时f₂（n）=an²+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．
（4）当k≥3时，若数列{a_n}能成等差数列，
根据等差数列通项公式可知S_n是关于n的二次型函数，
则a_n+S_n的表达式中n的最高次数为2，故数列{a_n}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a_n}能成等差数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设fk（n）为关于n的k（k∈N）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。