已知数列{an}满足a1=2，10a n+1﹣9an﹣1=0，．求证：数列{an﹣1}是等比数列；当n取何值时，bn取最大值；若对任意m

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，10a _n+1﹣9a_n﹣1=0，

 ．
（1）求证：数列{a_n﹣1}是等比数列；
（2）当n取何值时，b_n取最大值；
（3）若 

对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a₁₀a_n+1﹣9a_n﹣1=0，
∴

 ．
∴ 

，
∵a₁=2，
∴{a_n﹣1}是以a₁﹣1=1为首项，公比为

 的等比数列．
（2）解：由（ 1），可知a_n﹣1= 

（n∈N*）． ∴

 ，

 ．当n=7时， 

，b₈=b₇；
当n＜7时， 

，b_n+1＞b_n；
当n＞7时，

 ，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或n=8时，b_n取最大值，最大值为 

．
（3）解：由 

，得

 ．（*）
依题意，（*）式对任意m∈N*恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．
②当t＜0时，由

 ，可知t^m＜0（m∈N*），而当m是偶数时t^m＞0，因此t＜0不合题意．
③当t＞0时，由t^m＞0（m∈N*），
∴ 

，∴ 

（m∈N*）．
设 

（m∈N*）， ∵ 

=

 ，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m﹣1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值为

 ．
所以实数t的取值范围是 

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，10.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。