设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列。求数列{an}的公比；证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，

题文

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列。
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）证明：对任意k∈N+，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：设{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a₅，a₃，a₄成等差数列，
∴2a₃=a₅+a₄，
∴

 
∵a₁≠0，q≠0，
∴q²+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2。
（2）证明：对任意k∈N+，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0
∴对任意k∈N+，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是公比不为1的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。