执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a1，a2，…，an，n∈N*，n≤2011．若输入λ=2，写出输出结果；若输入λ=2，求数列{a

题文

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．
（1）若输入λ=2，写出输出结果；
（2）若输入λ=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若输入λ＞2，令cn=an-ppan-1，求常数p（p≠±1），使得{c_n}是等比数列．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解 （1）输出结果是：0，22，2．
（2）由程序框图知，a₁=0，an+1=1λ-an，n∈N*，n≤2010．
因为λ=2，所以an+1=12-an，
an+1-1=12-an-1=an-12-an，而{a_n}中的任意一项均不为1，
否则的话，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，与a₁=0≠1矛盾，
所以，1an+1-1=2-anan-1=1an-1-1，1an+1-1-1an-1=-1（常数），n∈N*，n≤2010．
故{1an-1}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以，1an-1=-n，数列{a_n}的通项公式为an=1-1n，n∈N*，n≤2011．
（3）当λ＞2时，cn+1=an+1-ppan+1-1=1λ-an-ppλ-an-1=pan-pλ+1an-λ+p=p2•an-p(λp-1p2)pan-(pλ-p2)，
令λp-1p2=1，则λ=p+1p，p²-λp+1=0，p=λ±λ2-42．  
此时，pλ-p2=p(p+1p)-p2=1，
所以c_n+1=p²c_n，n∈N*，n≤2011，
又c₁=p≠0，
故存在常数p=λ±λ2-42（λ＞2），使得{c_n}是以p为首项，p²为公比的等比数列．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。