已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5×3n．求证：数列{an-3n}是等比数列，并写出an的表达式；设3nbn=n

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=5，且an+1=-2an+5×3n．
（1）求证：数列{a_n-3ⁿ}是等比数列，并写出a_n的表达式；
（2）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an+1=-2an+5×3n，
∴an+1-3n+1=-2(an-3n)，
∴{a_n-3ⁿ}是以首项为a₁-3=2，公比为-2的等比数列，
∴a_n-3ⁿ=2•（-2）^n-1，
则a_n=3ⁿ+2•（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ，
（2）由3ⁿb_n=n•（3ⁿ-a_n）=n•[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n•（-2）ⁿ，
得b_n=n•（-23）ⁿ，
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=23+2×(23)2+3×(23)3+…+n×(23)n①
∴23Sn=(23)2+2 • (23)3+…+(n-1)×(23)n+n×(23)n+1②
①-②得，13Sn=23+ (23)2+…+(23)n-n(23)n+1=2[1-(23)n]-n • (23)n+1
∴Sn=6[1-(23)n]-3n(23)n+1＜6
∵|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，
∴m≥6．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=5，且an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。