在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．证明：数列{bn}是等比数列；记cn=2n+22bn+3，数列{c

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，记b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=2n+22bn+3，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜n+13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）由题设a_n+1=2a_n+n，得a_n+1+n+2=2（a_n+n+1），
即b_n+1=2b_n．                         …4分
又b₁=a₁+1+1=3，所以数列{b_n}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，b_n=3•2^n-1．
于是cn=2n+22bn+3=2n+1+13(2n+1)=13+13(2n+1)．        …8分
所以c_n＜13+13×2n．            …11分
所以S_n=c₁+c₂+…+c_n＜n3+13(12+122+…+12n)=n3+13(1-12n)＜n+13．…14分．

解析

2n+22bn+3

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。