已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．证明12S3，S6，S12-S6成等比数列；（I

题文

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇=a₁+3a₄，
即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q³+1=0
由S612S3=a1(1-q6)1-q12a1(1-q3)1-q=1+q312=116．S12-S6S6=S12S6-1=a1(1-q12)1-qa1(1-q6)1-q-1=1+q6-1=q6=116．
得S612S3=S12-S6S6．
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅱ）T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n-1）．
即Tn=a+2•(-14)a+3•(-14)2a+…+n•(-14)n-1a．①
①×(-14)得：-14Tn=-14a+2•(-14)2a+3•(-14)3a+…+(n-1)•(-14)n-1a+n(-14)na…②．
①-②得54Tn=a[1-(-14)n]1-(-14)-n•(-14)na=45a-(45+n)•(-14)na．
所以Tn=1625a-(1625+45n)•(-14)na．

解析

S612S3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为a且公比q不等于.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。