已知数列{an}和{bn}满足：a1＜0，b1＞0；当ak-1+bk-12≥0时ak=ak-1，bk=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12＜

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当ak-1+bk-12≥0时a_k=a_k-1，bk=ak-1+bk-12；当ak-1+bk-12＜0时，ak=ak-1+bk-12，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，试求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）证明：数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）设n（n≥2）是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整数，证明n＞log2a1-b1a1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a1+b12=2＞0，所以a₂=a₁=-3，b2=a1+b12=2
因为a2+b22=-12＜0，所以a3=a2+b22=-12，b₃=b₂=2
（2）证明：当ak-1+bk-12≥0时，bk-ak=ak-1+bk-12-ak-1=bk-1-ak-12；
当ak-1+bk-12＜0时，bk-ak=bk-1-ak-1+bk-12=bk-1-ak-12
因此不管哪种情况，都有bk-ak=bk-1-ak-12，所以数列{b_n-a_n}是首项为b₁-a₁，
公比为12的等比数列                                
（3）证明：由（2）可得bn-an=(b1-a1)(12)n-1
因为b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以ak-1+bk-12＜0不成立，所以ak-1+bk-12≥0
此时对于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，bk=ak-1+bk-12，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以bn=a1+(b1-a1)(12)n-1
若an+bn2≥0，则bn+1=an+bn2，bn+1=a1+(b1-a1)(12)n
所以bn+1-bn=[a1+(b1-a1)(12)n]-[a1+(b1-a1)(12)n-1]=-(b1-a1)(12)n＜0，
所以b_n＞b_n+1，这与n是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整数相矛盾，
因此n是满足an+bn2＜0的最小整数．an+bn2＜0⇔a1+(b1-a1)(12)n＜0⇔b1-a1-a1＜2n⇔log2a1-b1a1＜n，命题获证

解析

a1+b12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：（1）a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。