已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．对任意实数λ，证明数

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，an+1=23an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，即(23λ-3)2=λ(49λ-4)⇔49λ2-4λ+9=49λ2-4λ⇔9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（23a_n-2n+14）
=23（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-23b_n
又b₁=-（λ+18），所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列：
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴bn+1bn=-23（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-23为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-23）^n-1，于是可得
S_n=-n



i=1i4=15n4+12n4+13n3-130n，
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-35（λ+18）•[1-（-23）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得a1-(-23)n＜-35(λ+18)＜b1-(-23)n
令f(n)=1-(-23)n，则①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤53；当n为正偶数时，59≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=53，f（n）的最小值为f（2）=59，．
于是，由①式得59a＜-35（λ+18）＜35b⇔-b-18＜λ＜-3a-18．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。