设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足a2a1=a3a2=a4a3=a5a4a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S其

题文

设非零复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅满足
a2a1=a3a2=a4a3=a5a4a1+a2+a3+a4+a5=4(1a1+1a2+1a3+1a4+1a5)=S
其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：设a2a1=a3a2=a4a3=a5a4=q，
由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=4a1q4（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若a1q2=±2，则±2(1q2+1q+1+q+q2)=S，
∴S=±2[(q+1q)2+(q+1q)-1]=±2[（q+1q+12）²-54]，
∴由已知条件得（q+1q+12）²-54∈R，且|（q+1q+12）²-54|≤1．
令q+1q+12=h（cosθ+isinθ），则h2(cos2θ+isin2θ)-54∈R，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-54≤1，
∴14≤h2(cos2θ+isin2θ)≤94，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+1q∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
则q+1q=（r+1r）cosα+i（r-1r）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，则q=±r为实数，
此时q+1q≥2，或q+1q≤-2．
此时，q+1q+12≥5，或q+1q+12≤-32．
此时，由|（q+1q+12）²-54|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五点在同一圆上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，则|q|=1，
此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五点共圆．
综上，复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。