已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an＞0，bn=anan+1，且{bn}是以q为公比的等比数列．证明：an+2=anq2；

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n＞0，bn=anan+1（n∈N*），且{b_n}是以q为公比的等比数列．
（I）证明：a_n+2=a_nq²；
（II）若c_n=a_2n-1+2a_2n，证明数列{c_n}是等比数列；
（III）求和：1a1+1a2+1a3+1a4+…+1a2n-1+1a2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证：由bn+1bn=q，有an+1an+2anan+1=an+2an =q，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（ II）证：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²=…=a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²=…=a₂q^n-2，
∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．
∴{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．
（ III）由（ II）得1a2n-1=1a1q2-2n，1a2n=1a2q2-2n，于是1a1+1a2+…+1a2n=(1a1+1a3+…+1a2n-1)+(1a2+1a4+…+1a2n)=1a1(1+1q2+1q4+…+1q2n-2)+1a2(1+1q2+1q4+…+1q2n-2)=32(1+1q2+1q4+…+1q2n-2)．
当q=1时，1a1+1a2+…+1a2n=32(1+1q2+1q4+…+1q2n-2)=32n．
当q≠1时，1a1+1a2+…+1a2n=32(1+1q2+1q4+…+1q2n-2)=32(1-q-2n1-q-2)=32[q2n-1q2n-2(q2-1)]．
故1a1+1a2+…+1a2n=32n，q=132[q2n-1q2n-2(q2-1)]，q≠1.

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。