数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1．求证{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；等差数列{bn}的各项为正

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求证{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），-----（1分）
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．--------（3分）
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．-----------（4分）
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a_n=3^n-1．---（6分）
（2）设{b_n}的公差为d，
由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，--------（8分）
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，--------（10分）
解得d₁=2，d₂=-10．-----------（12分）
∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0．∴d=2，-------（13分）
Tn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n．-----------（15分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。