已知数列an的相邻两项an，an+1满足an+an+1=2n，且a1=1求证an-13×2n是等比数列求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．

题文

已知数列a_n的相邻两项a_n，a_n+1满足an+an+1=2n，且a₁=1
（1）求证an-13×2n是等比数列
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an+an+1=2n，
得an+1-13×2n+1=-（an-13×2n），
故数列{an-13×2n}是首项为a1-23=13，公比为-1的等比数列．
（2）由（1）知an-13×2n=13×(-1)n-1，
即an=13[2n-(-1)n]，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=13{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=13（2ⁿ⁺¹-2-(-1)n-12）
=13•2n+1-16（-1）ⁿ-12．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的相邻两项an，an+1满足.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。