在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-3y=4相切求圆O的方程圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比

题文

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-3y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，
即r=41+3=2．
得圆O的方程为x²+y²=4．
（2）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，
即x²-y²=2.PA•PB=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于点P在圆O内，故x2+y2＜4x2-y2=2.
由此得y²＜1．
所以PA•PB的取值范围为[-2，0）．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。