数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n．证明数列an+3是等比数列，求出数列an的通项公式；设bn=n3an，求数列bn的前n项和

题文

数列a_n的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列a_n+3是等比数列，求出数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设bn=n3an，求数列b_n的前n项和T_n；
（Ⅲ）判断数列a_n中是否存在构成等差数列的三项？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，an+1+3an+3=2，
数列a_n+3是等比数列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（Ⅱ）bn=n3an=n•2n-n，T_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ-（1+2++n），
令T_n^′=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2T_n^′=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以Tn=(n-1)•2n+1+2-12n(n+1)．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．

解析

an+1+3an+3

考点

据考高分专家说，试题“数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。