定义在∪上的函数f，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f}仍是等比数列，则称f为“保等比数列函数”．现有定义在（

题文

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）A．①②B．③④C．①③D．②④ 题型：未知 难度：其他题型

答案

由等比数列性质知anan+2=an+12，
①f(an)f(an+2)=an2an+22=(an+12) 2=f²（a_n+1），故正确；
②f(an)f(an+2)=2an2an+2= 2an+an+2≠22an+1=f²（a_n+1），故不正确；
③f(an)f(an+2)=|an||an+2|=|an+1|2=f²（a_n+1），故正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|an+1|2=f²（a_n+1），故不正确；
故选C

解析

|an||an+2|

考点

据考高分专家说，试题“定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。