已知各项为正数的等比数列{an}的公比为q，有如下真命题：若n1+n22=p，则(an1•an2)12=ap

题文

已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若n1+n22=p，则(an1•an2)12=ap（其中n₁、n₂、p为正整数）．
（1）若n1+n22=p+12，试探究(an1•an2)12与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为n1+n22=p+12，所以n₁+n₂=2p+1，又a_n=a₁q^n-1(an1•an2)12=(a21•qn1+n2-2)12=(a21•q(2p-2)+1)12=(a 1•qp-1)q12=apq12
即(an1•an2)12=apq12
（2）若an1，an2，，anm是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，则存在以下真命题：
①若n1+n2++nmm=p+rm(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)，则有(an1•an2••an3)1m=apqrm成立．
②若n1+n2++nmm=p+ts(m、p∈N*，s、t互素），则有(an1•an2••an3)1m=apqts成立．

解析

n1+n22

考点

据考高分专家说，试题“已知各项为正数的等比数列{an}（n∈N.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。