已知等差数列{an}的各项均为正整数，a1=1，前n项和为Sn，又在等比数列{bn}中，b1=2，b2S2=16，且当n≥2时，有ban=4ban-1成立，n∈

题文

已知等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=1，前n项和为S_n，又在等比数列{b_n}中，b₁=2，b₂S₂=16，且当n≥2时，有ban=4ban-1成立，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设cn=6bnb2n-1，证明：c1+c2+…+cn≤45(9-82n)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}的各项均为正整数，
∴设等差数列{a_n}的公差为d，d∈N，等比数列{b_n}的公比为q，
则∵a₁=1，b₁=2，b₂S₂=16，当n≥2时，有ban=4ban-1成立，
∴2q•（2+d）=16…①
q^d=4…②
解得q=d=2
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ，
（2）∵cn=6bnb2n-1=6•2n22n-1＜6•2n22n-1=62n-1
∴c₁+c₂+…+c_n≤6(120+12+122+…+12n-1)=6×120•(1-12n)1-12=3(1-12n)
又由n∈N^*，则0＜1-12n＜1，
所以3(1-12n)＜325(1-12n)＜45+325(1-12n)=(365-325•12n)=45(9-82n)
∴c1+c2+…+cn≤45(9-82n)．

解析

6bnb2n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的各项均为正整数，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。