在数列{an}中，对于任意n∈N*，等式a1+2a2+22a3+…+2n-1an=b成立，其中常数b≠0．求a1，a2的值；求

题文

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）b成立，其中常数b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）如果关于n的不等式1a2+1a4+1a8+…+1a2n＞ca1（c∈R）的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，
所以a1=(21-21+1)b，a1+2a2=(2•22-22+1)b，
解得a₁=b，a₂=2b．…（3分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，①
得a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，②
将①，②两式相减，得 2n-1an=(n•2n-2n+1)b-[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，
化简，得a_n=nb，其中n≥2．…（5分）
因为a₁=b，所以a_n=nb，其中n∈N^*．…（6分）
因为2an2an-1=2an-an-1=2b(n≥2)为常数，
所以数列{2an}为等比数列．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），得a2n=2nb，…（9分）
所以1a2+1a4+1a8+…+1a2n=12b+14b+…+12nb=1b×12(1-12n)1-12=1b(1-12n)，…（11分）
又因为1a1=1b，
所以不等式1a2+1a4+1a8+…+1a2n＞ca1化简为1b(1-12n)＞cb，
当b＞0时，考察不等式1b(1-12n)＞cb的解，
由题意，知不等式1-12n＞c的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为函数y=1-(12)x在R上单调递增，所以只要求 1-123＞c且1-122≤c即可，
解得34≤c＜78；                                        …（13分）
当b＜0时，考察不等式1b(1-12n)＞cb的解，
由题意，要求不等式1-12n＜c的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为1-122＜1-123，
所以如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
所以b＞0，34≤c＜78．…（14分）

解析

2an2an-1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，对于任意n∈N*，等式.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。