在数列{an}中，a1=2，an+l=an+cn，且a1，a2，a3成等比数列．求c的值；求数列{an}的通项公式．

题文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+l=a_n+cn （n∈N*，常数c≠0），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题知，a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，（2分）
因为a₁，a₂，a₃成等比数列，所以（2+c）²=2（2+3c），（4分）
解得c=0或c=2，又c≠0，故c=2．（6分）
（Ⅱ）当n≥2时，由a_n+1=a_n+cn
得a₂-a₁=c，
a₃-a₂=2c，
…
a_n-a_n-1=（n-1）c，
以上各式相加，得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2c，（9分）
又a₁=2，c=2，故an=n2-n+2(n≥2)，（11分）
当n=1时上式也成立，（12分）
所以数列{a_n}的通项公式为an=n2-n+2．（n∈N^*）．（13分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，an+l=a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。