已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=n+1，bn=3+(-1)n-12，n∈N*，且a1=2．求a2，a3的值设cn=

题文

已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，b_n=3+(-1)n-12，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列
（Ⅲ）设S_n为{a_n}的前n项和，证明S1a1+S2a2+…+S2n-1a2n-1+S2na2n≤n-13（n∈N^*） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由b_n=3+(-1)n-12，（n∈N^*）可得b_n=2 n为奇数1  n为偶数
又b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
当n=1时，a₁+2a₂=-1，可得由a₁=2，a₂=-32；
当n=2时，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N^*，
a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即：c_n=3×2^2n-1，于是Cn+1Cn=4
所以{c_n}是等比数列．
（Ⅲ）证明：
a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N^*且k≥2时，
a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+（a₇-a₅）+…+（a_2k-1-a_2k-3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k-3）=2+3×2(1-4k-1)2=4=2^2k-1，
故对任意的k∈N^*，a_2k-1=2^2k-1．
由①得2^2k-1+2a_2k=-2^2k-1+1，所以a2k=12-22k-1k∈N^*，
因此，S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)  = k2
于是，S2k-1=S2k-a2k=k-12+22k-1．
故S2k-1a2k-1+S2ka2k=k-12+22k-122k-1+k212-22k-1 =k-1+22k22k-1+k1-22k 
=1-14k-k4k(4k-1)
所以，对任意的n∈N^*，S1a1+S2a2+…+S2n-1a2n-1+S2na2n=（S1a1+S2a2）+…+（S2n-1a2n-1+S2na2n）
=(1-14-112)+(1-142-242(42-1))+…+(1-14n-n4n(4n-1))
=n-(14+112)-(142+242(42-1))-…-(14n+n4n(4n-1))
=n-(14+112+142+242(42-1)+…+14n+n4n(4n-1))
≤n-(14(1-(14)n)1-14)=n-13（n∈N^*）

解析

3+(-1)n-12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}与{bn}满足bn+1a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。