已知数列{an}的通项公式：an=2•3n+23n-1(n∈N)，试求{an}最大项的值；记bn=an+pan-2，且满足，若{(bn)13}

题文

（1）已知数列{a_n}的通项公式：an=2•3n+23n-1  (n∈N)，试求{a_n}最大项的值；
（2）记bn=an+pan-2，且满足（1），若{ (bn)13 }成等比数列，求p的值；
（3）（理）如果Cn+1=Cn+pCn+1， C1＞-1 ，C1≠2，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意
自然数n，或者都满足C2n-1＞2 ， C2n＜2；或者都满足C2n-1＜2 ， C2n＞2．
（文）若{b_n}是满足（2）的数列，且{ (bn)13 }成等比数列，试求满足不等式：-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n≥2004的自然数n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）an=2 (3n-1)+43n-1=2+43n-1，
∴an-2=43n-1≤431-1=2，则a_n≤4．
即{a_n}的最大项的值为4．
（2）欲使{ (bn)13 }成等比数列，只需{b_n}成等比数列．
∵bn=an+pan-2=2+p4•3n+2-p4，∴只需2+p4=0或2-p4=0即可．解得p=2或p=-2．
（3）（理）p=2，Cn+1=Cn+2Cn+1=1+1Cn+1，
∵C₁＞-1，∴C_n＞-1．又C1≠2，
∴C2≠2 ， … ， Cn≠2．
∵(C2n-2) (C2n-1-2)=(1-2) ( C2n-1-2)C2n-1+1＜0，
∴C2n-1＞2 ， C2n＜2；或C2n-1＜2 ， C2n＞2．
（文）∵p=-2不合题意，∴p=2⇒b_n=3ⁿ，
据题意，-3 [ 1-(-3)n]1-(-3)≥2004⇒(-3)n+1≤-4019，n_min=8．

解析

2 (3n-1)+43n-1

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知数列{an}的通项公式：an=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。