设数列{an}满足：a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)求a2，a3；令bn=1+24an，求数列{bn}的通项公式；

题文

设数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)
（1）求a₂，a₃；  
（2）令bn=1+24an，求数列{b_n}的通项公式；
（3）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证：f(1)•f(2)…f(n)＞12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)，
∴a₂=116(1+4a1+1+24a1)=58，
a3=116(1+4a2+1+24a2)=116(1+4×58+1+24×58)=1532．
（2）∵bn=1+24an，∴an= bn2-124，代入 an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*) 得
bn+12-124=116(1+4× bn2-124+ bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2b_n+1=b_n+3．
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，∴{b_n-3}是以2为首项，以12为公比的等比数列，
∴b_n-3=2(12)n-1，∴b_n=(12)n-2+3．
（3）证明：∵已知 an=bn2-124=(14)n-2+9 + 6×(12)n-2-124=23×(14)n+(12)n+13，
故 f（n）=6a_n+1-3a_n =6[23×(14)n+1+(12)n+1+13]-3（23×(14)n+(12)n+13）=1-14n 
=（1-12n）（1+12n）．
当n≥2时，有(1+12n-1)•(1-12n)=1-12n+12n-1-122n-1=1+2n-1-122n-1＞1．
∴f（1）•f（2）…•f（n）=（1-12）（1+12）•（1-14）（1+14）…（1-12n）（1+12n）
＞（1-12）（1+12n）=12+12n+1＞12．
故要证的不等式 f(1)•f(2)…f(n)＞12成立．

解析

116

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。