设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=-man．求证：数列{an}是等比数列．设数列{an}的

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．
（3）在满足（2）的条件下，求数列{2n+1bn}的前n项和T_n 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴anan-1=m1+m（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为m1+m的等比数列．
（2）由（1）得，q=f（m）=m1+m，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=bn-11+bn-1，
∴1bn=1bn-1+1，即1bn-1bn-1=1（n≥2）．
∴{1bn}是首项为12，公差为1的等差数列．
∴1bn=12+(n-1)•1=2n-12，即bn=22n-1（n∈N^*）．
（3）由（2）知bn=22n-1，则2n+1bn=2n(2n-1)．
所以Tn=22b1+23b2+24b3++2nbn-1+2n+1bn，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
则2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×（2n-3）+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴--2ⁿ⁺¹，
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-23(1-2n-1)1-2=2n+1×(2n-3)+6．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。