在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．证明：数列{an-n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；记bn=nan-n，

题文

在数列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=nan-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn+bn＞169． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=nan-n=n4n-1，
∴Sn=1+2×14+3×142+…+(n-1)×14n-2+n×14n-1，
则14Sn=1×14+2×142+…+(n-1)×14n-1+n×14n，
相减得34Sn=(1+14+142+…+14n-1)-n×14n=43(1-14n)-n×14n，
∴Sn=169(1-14n)-n3×4n-1，
∴Sn+bn=169-169×14n-n3×4n-1+n4n-1
=169+13×4n-1•(2n-43)，
∵n≥1，∴2n-43＞0，
∴Sn+bn＞169．

解析

nan-n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，an+1=4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。