在数列an中，a1=1，2an+1=(1+1n)2•an．证明数列{ann2}是等比数列，并求数列an的通项公式；令bn=an+1-12an，求数列

题文

在数列a_n中，a₁=1，2an+1=(1+1n)2•an．
（Ⅰ）证明数列{ann2}是等比数列，并求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-12an，求数列b_n的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由条件得an+1(n+1)2=12•ann2，（2分）
又n=1时，ann2=1，（3分）
故数列{ann2}构成首项为1，公式为12的等比数列．（4分）
从而ann2=12n-1，即an=n22n-1．（6分）
（Ⅱ）由bn=(n+1)22n-n22n=2n+12n（8分）
得Sn=32+522+… +2n+12n⇒12Sn=322+523+…+2n-12n+2n+12n+1，
两式相减得：12Sn=32+2(122+123+…+12n)-2n+12n+1，（10分）
所以Sn=5-2n+52n．（12分）

解析

an+1(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“在数列an中，a1=1，2an+1=(1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。