已知数列{an}满足an+1=2an+n+1，n∈N*．若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；证明：{an}不可能是等比数列；若a1=-

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明：{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，试比较a_n与（n-2）（n+1）的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*，
∴a₂=2a₁+2，
a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∴2a₂=a₁+a₃，
∴a₁=-3，a₂=-4，
∴d=-1．
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22=a₁a₃，
∴（2a₁+3）²=a₁（4a₁+7），
∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
又∵a₄=2a₃+4=-14，
∴a₂a₄≠a₃²，与等比数列的性质相矛盾，
∴假设错误．
故{a_n}不可能是等比数列．
（3）∵{a_n}是等差数列，首项a₁=-1，公差d=-1，
∴a_n=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴a_n-（n-2）（n+1）=-n-n²+n+2=2-n²，
∴n=1时，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＞0，a_n＞（n-2）（n+1）；
n=2时，a_n-（n-2）（n+1）=2-n²＜0，a_n＜（n-2）（n+1）．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=2an+n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。