数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn，且a1，a2，a3成等比数列．求数列{an}的通项公式；若bn=an-

题文

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=an-cn•cn，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知可知a₂=2+c，a₃=2+3c（1分）
则（2+c）²=2（2+3c）
∴c=2
从而有a_n+1=a_n+2n（2分）
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+a₃-a₂+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×1+2×2+…+2n=n²-n+2（4分）
当n=1时，a₁=2适合上式，因而a_n=n²-n+2（5分）
（2）∵b_n=an-cn•cn=an-2n•2n=n-12n（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=02+122+…+n-22n-1+n-12n
12Tn=022+123+…+n-22n+n-12n+1
相减可得，12Tn=122+123+…+12n-n-121+n=14(1-12n-1)1-12-n-12n+1（9分）
∴Tn=1-n+12n（10分）

解析

an-cn•cn

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=2，an+1=an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。