已知{an}的首项为a1，公比q为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且5S2=4S4．求q的值；设bn=q+Sn，请判断数列{bn}能否为

题文

已知{a_n}的首项为a₁，公比q为正数（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且5S₂=4S₄．
（1）求q的值；
（2）设b_n=q+S_n，请判断数列{b_n}能否为等比数列，若能，请求出a₁的值，否则请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知5S₂=4S₄
∴5a1(1-q2)1-q=4a1(1-q4)1-q
∵a₁≠0，q＞0且q≠1∴（1+q²）=5，
∴得q=12；
（2）∵Sn=a1(1-qn)1-q=2a1-a1(12)n-1
∴bn=q+sn=12+2a1-a1(12)n-1
要使{b_n}为等比数列，当且仅当12+2a1=0
即a1=-14，此bn=(12)n+1为等比数列，
∴{b_n}能为等比数列，此时a1=-14.

解析

5a1(1-q2)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}的首项为a1，公比q为正数（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。