设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=-λan，其中λ≠-1，0；证明：数列{an}是等比数列．设数列{an}的公比q=f，数列

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0；
（I）证明：数列{a_n}是等比数列．
（II）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足b1=12，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）求数列{b_n}的通项公式；
（III）记λ=1，记Cn=an(1bn-1)，求数列{C_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴anan-1=λ1+λ（n≥2），
∵λ≠-1，0，∴数列{a_n}是等比数列．
（II）由（I）知，f(λ)=λ1+λ，
∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴bn=bn1+bn-1，即1bn=1bn-1+1，
∴{1bn}是首项为1b1=2，公差为1的等差数列；
∴1bn=2+(n-1)=n+1，
则bn=1n+1，
（III）λ=1时，q=λ1+λ=12，且a₁=1，∴an=(12)n-1，
∴Cn=an(1bn-1)=(12)n-1n，
∴Tn=1+2(12)+3(12)2+…+n(12)n-1，①
12Tn=(12)+2(12)2+3(12)3+…+n(12)n②
②-①得：12Tn=1+(12)+(12)2+(12)3+…+(12)n-1-n(12)n，
∴12Tn=1+(12)+(12)2+(12)3+…+(12)n-1-n(12)n=2(1-(12)n)-n(12)n，
∴Tn=4(1-(12)n)-2n(12)n．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。