已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，yn+1yn≥λynyn-1

题文

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，yn+1yn≥λynyn-1（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)；当λ＞1时，证明x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1＜λλ-1(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知x₁=x₂=1，且_x3x2=λx2x1
∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比数列，则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性质，有_{yn+1yn≥λynyn-1≥λ 2yn-1yn-2…≥
λ n-1y2y1}=λ^n-1；
另一方面，xn+1xn=λxnxn-1_{=λ 2xn-1xn-2…λ n-1x2x1}=λ^n-1．
因此，yn+1yn≥λ n-1_=xn+1xn（n∈N^*）．故xn+1yn+1≤xnyn（n∈N^*）．
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）xn+1yn+1≤xnyn（n∈N^*），则yn+1-xn+1xn+1_≥yn-xnxn，
从而yn+1-xn+1yn-xn_≥xn+1xn（n∈N^*）．
_{∴x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1=1-(1λ)21-1λ＜λλ-1(n∈N*)}

解析

x3x2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。