等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，S5=a32求{an}的通项公式．求证：对于任意的正整数m，l，数列am，

题文

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求证：对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）若对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列，求正常数k的取值集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由等差数列{a_n}是递增数列，可设{a_n}的公差为d（d＞0），
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²，
∴a22=a1a55a3=a32，
解得a1=1d=2，∴a_n=2n-1．
（2）假设存在正整数m，l，使数列a_m，a_m+l，a_m+2l为等比数列，
则a_m+l²=a_ma_m+2l，而a_n=2n-1，
∴[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，
解得l=0，与l为正整数矛盾，故假设不成立，
对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）∵a_m=2m-1，a_m+l=2m+2l-1，a_m+kl=2m+2kl-1，
数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列的充要条件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），
∴4（2m-1）l+4l²=（2m-1）2kl，
∵l为正整数，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，
即（2m-1）（k-2）=2l，
对于任意给定的正整数m，2m-1为奇数，而2l为偶数，
∴k-2为偶数，
记k-2=2t（t∈N⁺），
即k=2+2t，t∈N⁺，
此时l=（2m-1）t∈N⁺，
综上所述，正整数k的取值集合为{k|k=2+2t，t∈N^*}．

解析

a22=a1a55a3=a32

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}是递增数列，前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。