已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1．求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等

题文

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，1ak+1ak+1＜43k+1；
（3）求证：1a1+1a2+…+1an＜12（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）得：
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1）
且a₂+2a₁=15，a₂-3a₁=-10．
∴当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1
以上两式相减得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
当k为奇数时，1ak+1ak+1-43k+1=13k+2k+13k+1-2k+1-43k+1
=-7×6k+8×4k3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)=4k•[8-7•(32)k]3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)＜0，
∴1ak+1ak+1＜43k+1．
（3）由（2）知，当k为奇数时，1ak+1ak+1＜43k+1=13k+13k+1；
∴当n为偶数时，1a1+1a2+…+1an＜13+132+…+13n=12(1-13n)＜12
当n为奇数时，1a1+1a2+…+1an＜12(1-13n+1)＜12

解析

1ak

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=5，a2=5，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。