等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a=______，q=______．

题文

等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a=______，q=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由S_n=80，S_2n=6560知q≠1，∴a(1-qn)1-q=80                ①a(1-q2n)1-q=6560           ② 解得 qⁿ=81．
∵q＞0，∴q＞1，又a＞0，∴该数列为递增数列．
设前n项中最大的项为a_n，∴a_n=aq^n-1=54，又qⁿ=81，∴3a=2q，将qⁿ=81代入①得a=q-1，
∴a=2，q=3，
故答案为 2；3．

解析

a(1-qn)1-q=80                ①a(1-q2n)1-q=6560           ②

考点

据考高分专家说，试题“等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。