数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1，b1+b2+b3=1

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项的和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N⁺），b₁+b₂+b₃=
15．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即an+1an=3 …4分
又 a₂=2S₁+1=3=3a₁  …2分
∴{a_n}是公比为3的等比数列    …8分
（2）由（1）得：a_n=3^n-1   …9分
设{b_n}的公差为d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5  …11分
依题意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，有（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故T_n=3n+n(n-1)2×2=n²+2n         …16分．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。