已知i，j分别是x轴，y轴方向上的单位向量，OA1=j，OA2=10j，且An-1An=3AnAn+1(n=2，3，4，…)，在射线y=x上从下到上依

题文

已知i，j分别是x轴，y轴方向上的单位向量，OA1=j，OA2=10j，且An-1An=3AnAn+1(n=2，3，4，…)，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），OB1=3i+3j且|Bn-1Bn|=22（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求A4A5；
（Ⅱ）求OAn，OBn；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵An-1An=3AnAn+1⇒AnAn+1=13An-1An，
∴A4A5=13A3A4=(13)2A2A3=(13)3A1A2=127(OA2-OA1)=13J．(3分)
（II）由（1）知AnAn+1=13n-1A1A2=13n-3j，
OAn=OA1+A1A2+…An-1An=j+A1A2+…+An-1An
=j+9j+3j+…+13n-3j=j+9[1-(13)n-1]1-13j=29-(13)n-42j．(6分)
∵|Bn-1Bn|=22且Bn-1，Bn均在射线y=x（x≥0）上，
∴Bn-1Bn=2i+2j．∴OBn=OB1+B1B2+B2B3+…+Bn-1Bn=3i+3j+(n-1)(2i+2j)
（III）∵|AnAn+1|=13n-3，△AnAn+1Bn+1的底面边AnAn+1的高为h1=2n+3．
又|BnBn+1|=22，An(0，29-(13)n-42)到直线y=x的距离为h2=29-(13)n-422．
∴S_n=12•(2n+3)•13n-3+12•22•29-(13)n-422=292+n3n-3，（10分）
而S_n-S_n-1=n3n-3-n-13n-4=-2n+33n-3＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…
∴S_max=S₁=292+13-2=292+9=472.（12分）

解析

An-1An

考点

据考高分专家说，试题“已知i，j分别是x轴，y轴方向上的单位向.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。