已知数列{an}满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2．试判断数列{1an+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；

题文

已知数列{a_n}满足a₁=14，a_n=an-1(-1)nan-1-2（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{1an+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=1an2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin(2n-1)π2，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜47． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1an=(-1)n-2an-1，
∴1an+(-1)n=(-2)[1an-1+(-1)n-1]，
又∵1a1+(-1)=3，
∴数列{1an+(-1)n}是首项为3，公比为-2的等比数列．
（2）依（1）的结论有1an+(-1)n=3(-2)n-1，
即an=(-1)n-13•2n-1+1．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
Sn=9•1•(1-4n)1-4+6•1•(1-2n)1-2+n=3•4n+6•2n+n-9．
（3）∵sin(2n-1)π2=(-1)n-1，
∴cn=(-1)n-13(-2)n-1-(-1)n=13•2n-1+1．
当n≥3时，
则Tn=13+1+13•2+1+13•22+1+…+13•2n-1+1＜14+17+13•22+13•23+…+13•2n-1=1128+112[1-(12)n-2]1-12
=1128+16[1-(12)n-2]＜1128+16=4784＜4884=47．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，Tn＜47．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=14，an=a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。