已知数列{an}的前n项和Sn=32(an-1)，n∈N+．求{an}的通项公式；设bn=log3an，求数列{anbn}的前n项和．

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn =32(an -1)，n∈N+．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为Sn =32(an -1)，n∈N+，所以Sn+1  =32(an+1  -1)．
两式相减，得Sn+1 -Sn =32(an+1 -an )；，即an+1 =32(an+1 -an )
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．
又s1 =23(a1 -1)；，即a1 =32(a1 -1)；，所以a₁=3．
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列．从而{a_n}的通项公式是{a_n=3ⁿ，n∈N₊；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃a_n=n，设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1×3+2×3²+3×3³++n•3ⁿ，3T_n
=1×3²+2×3³+3×3⁴++（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得-2T_n=1×3+1×3²+1×3³++1×3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=32(3n-1)-n•3n+1，
所以Tn=2n-14•3n+1+34．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=32(a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。