已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，是否存在常数λ，μ，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N⁺），
（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
（2）设b_n=a_n-n²+n（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在常数c，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立？并证明你的结论；
（3）设cn=1an+n-2n-1，T_n=c₁+c₂+…+c₃，证明6n(n+1)(2n+1)＜T_n＜53（n≥2）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n+1=2a_n-n²+3n可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n+λn²+μn），
即a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
故λ=-1μ-2λ=3-λ-μ=0，得λ=-1μ=1，
又a₁-1²+1≠0，所以存在λ=-1μ=1，使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列；
（2）由（1）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1，得a_n=2^n-1+n²-n，所以b_n=2^n-1，
要使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立，
则有(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2Sn-c＞0，得c=-1，
所以，存在常数c=-1，使得lg（S_n-c）+lg（S_n+2-c）=2lg（S_n+1-c）成立；
（3）证明：因为a_n=2^n-1+n²-n，
所以cn=1n2，
而cn=1n2＜1n2-14=1n-12-1n+12，
所以Tn=c1+c2++c3＜1+23-1n+12＜53(n≥2)，
又当n=2时，T2=54＞45，符合；
当n≥3时，cn=1n2＞1n-1n+1，
得Tn=c1+c2++c3＞1-1n+1=nn+1＞nn+1•62n+1=6n(n+1)(2n+1)；
综上，6n(n+1)(2n+1)＜T_n＜53（n≥2）得证．

解析

λ=-1μ-2λ=3-λ-μ=0

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。