数列{an}的前n项和记为Sn，Sn=2an-2．求{an}通项公式；等差数列{bn}的各项为正，其前3项和为6，又a1+b1，a2+b2，a3+b

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前3项和为6，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比数列，求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记cn=bnan，数列{c_n}的前项和记为T_n，问是否存在常数k，使对任意的n≥k，n∈N，都有|Tn-2| ＜1n成立，若存在，求常数k的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵S_n=2a_n-2，则S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减，得a_n=2a_n-1，
anan-1=2，n≥2，
当n=1时，S₁=a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是等比数列，公比为2，∴an=2n．
（Ⅱ）∵等差数列{b_n}的各项为正，其前3项和为6，
又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比数列，
∴3b1+3d=6(2+b1)(8+b1+3d)=(4+b1+d)2，
解得b1=1d=1，或b1=4d=-2（舍）
∴b_n=n．
（Ⅲ）∵cn=bnan，数列{c_n}的前项和记为T_n，
∴Tn=12+24+38+…+n2n，
2T_n=11+22+34+…+n2n-1，
∴Tn=11+12+14+…+12 n-1-n2 n
=2-12 n-1-n2 n
=2-n+22n．
∴|Tn-2|=n+22n＜1n，即n(n+2)2n＜1，
设dn=n(n+2)2n，
dn+1=(n+1)(n+3)2n+1，
dn+1-dn=3-n22n+1．
当n≥2时，d_n+1＜d_n，
d3=158，d4=32，d5=3532，d6=34，
∴当k≥6时，使对任意的n≥k，n∈N，|Tn-2| ＜1n都成立．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，Sn=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。