数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，又设bn=an+1求证：数列{bn}是等比数列；求数列{an}的通项公式；设cn=n+1an

题文

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又设b_n=a_n+1
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设cn=n+1an+1（n∈N*），求数列{c_n}的前n项的和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴bn+1bn=2，a₁+1=2
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）∵b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1
（3）∵cn=n+1an+1=n+12n．
∴S_n=221+322+423+…+n+12n
∴12S_n=222+323+…+n2n+n+12n+1
∴两式相减可得：12S_n=221+122+123+…+12n-n+12n+1=1+122[1-(12)n-1]1-12-n+12n+1=32-n+32n+1．
∴S_n=3-n+32n．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，且an+1=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。