设数列{an}的首项a1=a≠14，且an+1=12an，n为偶数an+14，n为奇数记bn=a2n-1-14，n=1，2，3，…．求a2，a3，a4，a

题文

设数列{a_n}的首项a1=a≠14，且an+1=12an，n为偶数an+14，n为奇数记bn=a2n-1-14，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的判断． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a2=a1+14=a+14，a3=12a2=12a+18．a4=a3+14=12a+38，a5=12a4=14a+316．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b1=a1-14=a-14，b2=a3-14=12(a-14)，b3=a5-14=14(a-14)．
猜想：{b_n}是公比为12的等比数列．
证明如下：因为bn+1=a2n+1-14=12a2n-14=12(a2n-1-14)=12bn(n∈N*)，
又a≠14，所以b1=a-14≠0，
所以数列{b_n}是首项为a-14，公比为12的等比数列．…（12分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项a1=a≠14，且a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。