已知数列{an}中，a1=23，a2=89．当n≥2时，3an+1=4an-an-1证明：{an+1-an}为等比数列；求数列{an}的

题文

已知数列{a_n}中，a1=23，a2=89．当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1（n∈N^*）
（1）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项；
（3）若数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，当n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1⇒3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以an+1-an=13(an-an-1)，
所以{an+1-an}是以a2-a1=29为首项，13为公比的等比数列．
（2）由（1）得an+1-an=29(13)n-1，an-an-1=29(13)n-2…a2-a1=29(13)0
累加得an-a1=1-(13)n，得an=1-(13)n
（3）bn=n-n3n
Sn=(1-13)+(2-232)+…+(n-n3n)
=(1+2+…+n)-(13+232+…+n3n)=-34+2n+34•3n+n(n+1)2

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=23，a2=8.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。