在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β且a2=5，a3=17．求an+1与an的关系式；求证：{an+1}是等比数列；

题文

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0）且a₂=5，a₃=17．
（Ⅰ）求a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）求证：{a_n+1}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n（a_n+1）}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，
∴α+β=55α+β=17解得α=3β=2.
∴a_n+1=3a_n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵a₁=1，即a_n+1≠0，
∴an+1+1an+1=3，
∴{a_n+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，an+1=2×3n-1，
∴Sn=1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n-1，
3Sn=1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
两式相减，得：2Sn=-1×2-2×31-2×32-…-2×3n-1+n×2×3n-1
=-2-23-3n1-3+2n•3n，
∴Sn=3n(2n-1)+12．

解析

α+β=55α+β=17

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。