设数列{an}的前n项和Sn=3an-2．证明数列{an}是等比数列；若bn+1=an+bn，且b1=-3，求数

题文

设数列{a_n}的前n项和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证：因为  S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得an=32an-1．
由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．
所以{a_n}是首项为1，公比是32的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），
得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．
所以b2-b1=a1，b3-b2=a2，…bn-bn-1=an-1，
从而 bn=b1+[a1+a2+…+an-1]=-3+1-(32)n-11-32=2(32)n-1-5．
Tn=2[1+32+(32)2+…+(32)n-1]-5n=4×(32)n-5n-4．…（13分）

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和Sn=3an-2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。