已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2．令bn=an-2n．求证：数列{bn}为等比数列

题文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n=1，2，3…）．令b_n=a_n-2n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）令cn=1bn+1，记T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1，比较T_n与16的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴b_n=a_n-2n是以2为公比的等比数列             
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+2n．
b_n=a_n-2n=2ⁿ cn=1bn+1=12n+1T_n=c₁c₂+2c₂c₃+2²c₃c₄+…+2^n-1c_nc_n+1
=121+1×122+1+2×122+1×123+1+…+2^n-1×12n+1×12n+1+1
=12×（121+1-122+1）+12×（122+1-123+1）+…+12×（12n+1-12n+1+1）
=12×（121+1-12n+1+1）
=16-12n+2+2∴Tn＜16

解析

1bn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。