已知{an}是首项为a1，公比q为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2=4S4，设bn=q+qn+Sn．求q的值；数列{bn}能否是等比数列

题文

已知{a_n}是首项为a₁，公比q为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄，设b_n=q+qⁿ+S_n．
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否是等比数列？若是，请求出所有可能的a₁的值；若不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知
（1）∵q≠1，
∴S₂=a1(1-q2)1-q，S₄=a1(1-q4)1-q，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴）．
∵q＞0，
∴q=12．
（2）∵S_n=a1(1-qn)1-q=2a₁-2a₁（12）ⁿ，
∴b_n=q+qⁿ+S_n=2a₁+12+（1-2a₁）（12）ⁿ．
若{b_n}是等比数列，则b₁=a₁+1，b₂=32a₁+34，b₃=74a₁+58，
由b₂²=b₁b₂，解得8a₁²-2a₁-1=0，所以a₁=-14，或a₁=12．
①当a₁=12时，b_n=32，
∴数列{b_n}是等比数列．
②当a₁=-14时，b_n=32 （12）ⁿ．
∵bn+bn=32(12)n+132(12)n=12，
∴数列{b_n}是等比数列．

解析

a1(1-q2)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是首项为a1，公比q为正数的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。