已知数列{an}满足a1=4，且an+1，an，3成等差数列，．求a1-3，a2-3，a3-3的值；求证：数列{an-3}是等比数列

题文

已知数列{a_n}满足a₁=4，且a_n+1，a_n，3成等差数列，（其中n∈N^*）．
（1）求a₁-3，a₂-3，a₃-3的值；
（2）求证：数列{a_n-3}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式并求其前n项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得2a_n=a_n+1+3，
故可得a₂=5，a₃=7，
故a₁-3=1，a₂-3=2，a₃-3=4；
（2）由（1）可得2a_n=a_n+1+3，
可得2a_n-6=a_n+1-3，即2（a_n-3）=a_n+1-3，
故可得an+1-3an-3=2，
故数列{a_n-3}是q=2为公比的等比数列；
（3）由（2）可知a_n-3=（a₁-3）q^n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+3，
∴S_n=（1+3）+（2+3）+（4+3）+…+（2^n-1+3）
=3n+（1+2+4+…+2^n-1）=3n+1•(1-2n)1-2=3n+2ⁿ-1

解析

an+1-3an-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=4，且an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。