已知f=2，g=4，f和g满足：a1=2，且g+f=0．是否存在常数C，

题文

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0   …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，
则：an+1+can+c=34an+14+can+c=34+14(1+c)an+c为常数
∴c=-1，故存在常数c=-1，使{a_n-1}为等比数列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴a1-1=1，即an-1=(34)n-1，
∴an=(34)n-1+1…（8分）
从而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2=-6(916)n-1…（10分）
∴Sn=-6[1-(916)n]1-916=-967[1-(916)n]…（12分）

解析

an+1+can+c

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。