等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a1＞1，a2009•a2010-1＞0，＜0，给出下列结论①0＜q＜

题文

等比数列{a_n}的公比为q，前n项的积为T_n，并且满足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，给出下列结论①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为 ______．（将你认为正确的全部填上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0
∴a₂₀₀₉＜1或a₂₀₁₀＜1
如果a₂₀₀₉＜1，那么a₂₀₁₀＞1
如果a₂₀₀₉＜0，那么q＜0
又a₂₀₁₀=a₁q²⁰⁰⁹，所以a₂₀₁₀应与a₁异号，即a₂₀₁₀＜0
和前面a₂₀₁₀＞1的假设矛盾了
∴q＞0
又或者a₂₀₀₉＜1，a₂₀₁₀＞1，
那么a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸应该大于1
又矛盾了．因此q＜1
综上所述 0＜q＜1，故①正确
a₂₀₀₉•a₂₀₁₁=a²₂₀₁₀＜1故②正确．，
由结论（1）可知数列从2010项开始小于1
∴T₂₀₀₉为最大项③不正确．
由结论1可知数列由2010项开始小于1，
T_n=a₁a₂a₃…a_n
∵数列从第2010项开始小于1，
∴当T_n=（a²⁰⁰⁹）²时，T_n＞1成立的最大的自然数
求得n=4018，故④正确．
故答案为：①②④

解析

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考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的公比为q，前n项的积为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。